Makalah Himpunan (matematika)

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala limpahan Rahmat dan Hinayahnya sehingga kami dapat menyelesaikan penyusunan makalah ini dalam bentuk maupun isinya yang sangat sederhana.

Makalah yang berjudul “Himpunan” ini kami akui masih banyak kekurangan karena pengalaman yang kami miliki sangat kurang. Oleh karena itu kami harapkan kepada para pembaca untuk memberikan masukan-masukan yang bersifat membangun untuk kesempurnaan makalah ini.

Harapan kami semoga makalah ini membantu menambah pengetahuan dan pengalaman bagi para pembaca, sehingga kami dapat memperbaiki bentuk maupun isi makalah ini sehingga kedepannya dapat lebih baik.

Tak ada gading yang tak retak. Begitu pula dengan tugas yang kami buat ini yang masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu kami memohon maaf apabila ada kekurangan ataupun kesalahan. Kritik dan saran sangat diharapkan agar tugas ini menjadi lebih baik serta berdaya guna  dimasa yang akan datang. Semoga Allah SWT senantiasa meridhai segala usaha kita. Amin...

Banda Aceh, 26 Oktober 2017

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR.......................................................................................... i

DAFTAR ISI........................................................................................................ ii

BAB I        PENDAHULUAN............................................................................ 1

A.    Latar Belakang............................................................................. 1

B.     Rumusan Masalah........................................................................ 1

C.     Tujuan Penulisan.......................................................................... 1

BAB II       PEMBAHASAN........................................................................... .... 2

A.    Pengertian Himpunan................................................................... 2

B.     Jenis-Jenis Himpunan................................................................... 2

C.     Cara Penulisan Himpunan............................................................ 5

D.    Operasi Pada Himpunan............................................................... 5

E.     Hukum Aljabar Himpunan........................................................... 6

BAB III     PENUTUP..................................................................................... .... 13

A.    Kesimpulan .................................................................................. 13

B.     Saran............................................................................................. 13

DAFTAR PUSTAKA........................................................................................... 14

BAB I

PENDAHULUAN

A.    Latar Belakang

Pada umumnya, belajar matematika identik dengan menghafalkan rumus-rumus tertentu dengan buku panduan yang sangat tebal dan banyak. Matematika sebagai media untuk melatih  berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri dan mampu menyelesaikan masalah sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide dan gagasan serta yang ada dalam pikiran manusia. Jelas sekali bahwa Matematika sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari Matematika, sekalipun kita mengambil jurusan ilmu sosial tetap saja ada  pelajaran Matematika di dalamnya karena mau tidak mau matematika digunakan dalam aktivitas sehari-hari. Salah satunya penerapan himpunan dalam kehidupan sehari-hari. Himpunan merupakan salah satu dasar dari matematika. Konsep dalam matematika dapat dikembalikan pada konsep himpunan, misalnya garis adalah himpunan titik. Sebetulnya  pengertian himpunan mudah dipahami dan dapat diterima secara intuitif. Mengingat demikian  pentingnya teori himpunan, maka dalam kesempatan ini akan dijabarkan beberapa konsep mengenai teori himpunan.

B.     Rumusan Masalah

1.      Menjelaskan tetang pengertian Himpunan?

2.      Menyebutkan jenis-jenis himpunan?

3.      Menjelaskan cara penulisan himpunan?

4.      Menjelaskan operasi dan hukum aljabar pada himpunan?

C.    Tujuan Penulisan

Penulisan makalah ini bertujuan untuk mengetahui dan menjelaskan tentang Himpunan dan manfaatnya.

BAB II

PEMBAHASAN

A.    Pengertian Himpunan

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan.

Himpunan merupakan kumpulan benda-benda atau objek-objek yang didefinisikan dengan  jelas. Istilah didefinisikan dengan jelas dimaksukkan agar orang dapat menentukan apakah suatu benda merupakan anggota himpunan yang dimaksud tadi atau tidak.

Anggota atau elemen adalah benda-benda atau objek-objek yang termasuk dalam sebuah himpunan.

Contoh:

Himpunan yang merupakan himpunan:

·         Himpunan anak yang berusia 12 tahun

·         Himpunan bilangan asli genap

·         Himpunan pulau-pulau di Indonesia

Himpunan yang bukan merupakan himpunan:

·         Himpunan anak-anak malas

·         Himpunan wanita-wanita cantik

·         Himpunan lukisan indah

B.     Jenis-Jenis Himpunan

1.      Himpunan Bagian (Subset).

Himpunan A dikatakan  himpunan  bagian  (subset)  dari  himpunan B ditulis A ⊂ B ”, jika setiap anggota A merupakan anggota dari B.

Syarat :

A ⊂ B, dibaca     : A himpunan bagian dari B

A ⊂ B, dibaca     : A bukan himpunan bagian dari B

B  ⊂  A dibaca    : B bukan himpunan bagian dari A

B  ⊂  A dibaca    : B bukan himpunan bagian dari A

Contoh :

Misal   A = { 1,2,3,4,5 } dan B = { 2,4} maka  B ⊂ A

Sebab  setiap  elemen  dalam  B merupakan  elemen  dalam A,  tetapi  tidak sebaliknya.

Penjelasan : Dari definisi diatas himpunan bagian harus mempunyai unsur himpunan A  juga merupakan unsur himpunan B.artinya kedua himpunan itu harus saling berkaitan.

2.      Himpunan Kosong (Nullset)

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai unsur anggota yang sama sama sekali.

Syarat :

Himpunan kosong = A atau { } Himpunan kosong adalah tunggal

Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan

Perhatikan : himpunan kosong tidak boleh di nyatakan dengan { 0 }.

Sebab : { 0 } ≠ { }

Penjelasan : dari definisi diatas himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai satupun anggota, dan biasanya himpunan kosong dinotasikan dengan huruf yunani ø (phi).

3.      Himpunan Semesta

Himpunan semesta biasanya dilambangkan dengan “U” atau “S” (Universum) yang berarti himpunan yang memuat semua anggota yang dibicarakan atau kata lainya himpunan dari objek yang sedang dibicarakan.

4.      Himpunan Sama (Equal)

Bila setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B, begitu pula sebaliknya.dinotasikan dengan A=B

Syarat : Dua buah himpunan anggotanya harus sama.

Contoh :

A ={ c,d,e}    B={ c,d,e }   Maka A = B

Penjelasan : Himpunan equal atau himpunan sama,memiliki dua buah himpunan yang anggotanya sama misalkan anggota himpunan A {c,d,e} maka himpunan B pun akan memiliki anggota yaitu { c,d,e }.

5.      Himpunan Lepas

Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya tidak ada yang sama.

Contoh  C = {1, 3, 5, 7}   dan  D = {2, 4, 6}  Maka himpunan C dan himpunan D saling lepas.

Catatan : Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satu pun anggota yang sama

6.      Himpunan Komplemen (Complement set)

Himpunan komplemen dapat di nyatakan dengan notasi A^C . Himpunan komplemen jika di misalkan S = {1,2,3,4,5,6,7} dan A = {3,4,5} maka A ⊂ U. Himpunan {1,2,6,7} juga merupakan komplemen, jadi A^C = {1,2,6,7}. Dengan notasi pembentuk himpunan ditulis :

A^C = {x│x Є U, x Є A}

7.      Himpunan Ekuivalen (Equal Set)

Himpunan ekuivalen adalah himpunan yang anggotanya sama banyak dengan himpunan lain.

Syarat : Bilangan cardinal dinyatakan dengan notasi n (A) A≈B, dikatakan sederajat atau ekivalen, jika himpunan A ekivalen dengan himpunan B,

Contoh :

A = { w,x,y,z }→n (A) = 4

B = {  r,s,t,u   } →n  (B) = 4

Maka n (A) =n (B) →A≈B

Penjelasan : himpunan ekivalen mempunyai bilangan cardinal dari himpunan tersebut, bila himpunan A  beranggotakan 4 karakter maka himpunan B pun beranggotakan 4.

C.    Cara Penulisan Himpunan

Ada empat cara untuk menyatakan suatu himpunan

1.      Dengan menyebutkan semua anggotanya (roster) yang diletakkan di dalam sepasang tanda kurung kurawal, dan di antara setiap anggotanya dipisahkan dengan tanda koma. Cara ini disebut juga cara Tabulasi.

Contoh:     A = {a, i, u, e, o}

B = {Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu}

2.      Menyebutkan syarat anggota-anggotanya, cara ini disebut juga cara Deskripsi.

Contoh: ambil bilangan asli kurang dari 5

A = bilangan asli kurang dari 5

3.      Notasi Pembentuk Himpunan : dengan menuliskan ciri-ciri umum atau sifat-sifat umum (role) dari anggotanya.

Contoh Soal :

Nyatakan dengan notasi himpunan dengan menuliskan tiap-tiap anggotanya dan sifat-sifatnya himpunan berikut ini :

A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6

Penyelesaian :

A adalah himpunan bilangan asli antara 1 dan 6

Dengan menulis tiap-tiap anggotanya A = {2, 3, 4, 5}

Dengan menulis sifat-sifatnya A = {x | 1 < x <  Asli}6, x

4.      Himpunan juga dapat di sajikan secara grafis (Diagram Venn)

D.    Operasi Pada Himpunan

1.      Gabungan

Gabungan (union) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B.  Dinotasikan A  B Notasi : A   B = {x | x Є A atau  x Є B}

2.      Irisan

Irisan (intersection) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota dari himpunan A dan anggota himpunan B.

Notasi : A   B = {x | x Є  A dan x Є B}

3.      Komplemen

Komplemen himpunan A terhadap himpunan semesta S adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota S yang bukan anggota A. Dinotasikan A^c

Notasi : Ac = {x | x Є S dan  x Є A} atau

4.      Selisih

Selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan bukan anggota himpunan B. Selisih himpunan A dan B adalah komplemen himpunan B terhadap himpunan A. Dinotasikan A-B

Notasi : A – B = {x | x Є A dan  x Є B}

5.      Hasil Kali Kartesius ( Cartesion Product )

Hasil kali kartesius himpunan A dan B, dinotasikan A x B, adalah himpunan yang anggotanya semua pasangan terurut (a,b) dimana a anggota A dan b anggota B

Secara matematis dituliskan : A x B = {(a,b)| a Є A dan b Є B}

E.     Hukum Aljabar Himpunan

Hukum-hukum pada himpunan dinamakan Hukum –hukum aljabar himpunan. cukup banyak  hukum yang terdapat pada aljabar himpunan , tetapi disini hanya dijabarkan  11 saja. Beberapa hukum tersebut mirip dengan hukum aljabar pada sistem bilangan riil seperti a (b+c) = ab + ac  , yaitu hukum distributif.

1. Hukum identitas:     A = A     A U = A	2.   2. Hukum null/dominasi:     A =     A U = U
3.   3. Hukum komplemen:     A  = U     A  =	4.   4. Hukum idempoten:     A A = A     A A = A
5.   5. Hukum involusi:     = A	6.   5. Hukum penyerapan (absorpsi):     A (A B) = A     A (A B) = A
7.   7. Hukum komutatif:     A B = B A     A B = B A	8.   6. Hukum asosiatif:     A (B C) = (A B) C     A (B C) = (A B) C
9.   Hukum distributif:       A (B C) = (A B) (A C)       A (B C) = (A B) (A C) 11.  Hukum 0/1                                                   = U        = 𑁢	10  8. Hukum De Morgan:     A (B C) = (A B) C     A (B C) = (A B) C 10. Hukum De Morgan

            Terlihat bahwa hukum-hukum yang berlaku pada himpunan merupakan analogi hukum–hukum logika, dengan operator  menggantikan L (dan), sedangkan operator    menggantikan V ( atau ).

1.      Prinsip inklusi dan eksklusi

            Beberapa banyak anggota di dalam gabungan dua himpunan A dan B. penggabungan dua buah himpunan menghasilkan himpunan baru yang elemen-elemennya berasal dari himpunan A dan himpunan B. himpunan A dan himpunan B mungkin saja memiliki elemen yang sama. Banyaknya elemen bersama antara A dan B adalah A . Setiap unsure yang sama itu telah dihitung dua kali, sekali pada |A| dan sekali pada |B|, meskipun ia seharusnya dianggap sebagai satu buah elemen di dalam |A | .  karena itu , jumlah elemen hasil penggabungan seharusnya adalah jumlah elemen di masing-masing himpunan dikurangi jumlah elemen di dalam irisannya, atau  |A| + B| - |A| 

Prinsip ini dikenal dengan nama prinsip inklusi–eksklusi . sejumlah lemma dan teorema yang berkaitan dengan prinsip ini dituliskan sebagai berikut:

a)      Lemma 2.1. misalkan A dan B adalah himpunan berhingga yang saling lepas (disjoint) , maka |A| + B|

b)      Teorema 2.3 misalkan A dan B adalah himpunan berhingga maka  berhingga dan|A| + B | - |A|  

c)      Dengan cara yang sama , kita dapat menghitung jumlah elemen hasil operasi beda setangkup |A| + B | - 2 |A |.

Contoh :

Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5 Penyelesaian :

Misalkan : A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3

B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5

A  himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK dari 3 dan 5 yaitu 15 ).

Ø  Yang ditanyakan adalah: Terlebih dahulu kita harus menghitung

|A| = [100/3] = 33           | B | = [100/5]= 20         |A  | = [100/15] = 6

Untuk mendapatkan |A| + B | - |A  | = 33 + 20 – 6 = 47

Jadi ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5 .

Prinsip inklusi- eksklusi dapat dirampatkan untuk operasi lebih dari dua buah himpunan. untuk tiga buah himpunan A, B, dan C berlaku teorema berikut:

Teorema 2.4 Misalkan A , B , dan C adalah himpunan yang berhingga maka  berhingga dan

Sedangkan untuk  empat buah himpunan maka

|A ∪ B ∪ C ∪ D| = |A| + |B| + |C| + |D|  – |A ∩ B| – |A ∩ C| – |A ∩ D| – |B ∩ C| – |B ∩ D| – |C ∩ D|  + |A ∩ B ∩ C| + |A ∩ B ∩ D| + |A ∩ C ∩ D| + |B ∩ C ∩ D |– |A ∩ B ∩ C ∩ D| 

Contoh :

Sebanyak 1232 orang mahasiswa mengambil kuliah bahasa inggris, 879 orang mengambil kuliah bahasa perancis, dan 114 mengambil kuliah bahasa jerman. Sebanyak 103 orang mengambil kuliah bahasa inggris dan perancis, 23 orang mengambil kuliah bahasa inggris dan jerman, dan 14 orang mengambil kuliah bahasa perancis dan bahasa jerman. Jika 2092 orang mengambil paling sedikit satu buah kuliah bahsa inggris, bahasa jerman, dan perancis, berapa banyak mahasiswa yang mengambil kuliah ketiga buah bahasa tersebut?

Penyelesaian :

Misalkan :

I      = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa inggris.

P     = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa perancis.

J      = himpunan mahasiswa yang mengambil kuliah bahasa jerman.

Maka ,

|I | = 1232   |P | = 879   |J| = 114    | I P |  = 103           

| I J |  = 23   | P J |  = 14  dan  |I ∪ P ∪  J| = 2092

Penyulihan nilai- nilai diatas pada persamaan

|I ∪ P ∪  J| = |I | +  |P | + |J| -  | I P |  - | I J | - | P J |  +  |I P   J|

2092      = 1232 + 879 + 114 - 103 - 23 -14 + |I P   J|

Sehingga |I P   J| = 7

Jadi ada 7 orang mahasiswa yang mengambil ketiga buah kuliah bahasa inggris, perancis dan jerman

2.      Pembuktian Proporsi Himpunan

Proposisi himpunan adalah pernyataan yang menggunakan notasi himpunan. Pernyataan dapat berupa kesamaan (set identity), misalnya A (B C) = (A B) (A C)  adalah kesamaan himpunan atau dapat berupa implikasi seperti “ jika A B =  dan   (B C), maka selalu berlaku bahwa A Terdapat beberapa metode untuk membuktikan kebenaran proposisi himpunan. Untuk suatu proposisi himpunan, untuk suatu proposisi himpunan kita dapat membuktikannya dengan beberapa metode yang menghasilkan kesimpulan yang sama. Di bawah ini dikemukakan beberapa metode pembuktian proposisi perihal himpunan.

a.       Dengan diagram venn

Buatlah diagram venn untuk bagian ruas kiri kesamaan dan diagram venn untuk ruas kanan kesamaan. Jika diagram venn keduanya sama beraarti kesamaan tersebut benar. Kelebihan metode ini yaitu pembuktian dapat dilakukan dengan cepat sedangkan kekurangannya hanya dapat digunakan jika himpunan yang digambarkan tidak banyak jumlahnya. Metode ini lebih mengilustrasikan dibandingkan membuktikan fakta. Dan banyak matematikawan tidak menganggap sebagai pembuktian valid untuk pembuktian secara formal. Oleh karena itu pembuktian dengan diagram venn kurang dapat diterima.

b.      Pembuktian dengan tabel keanggotaan

Kesamaan himpunan dapat dibuktikan dengan menggunakan tabel keanggotaan. Kita menggunakan angka 1 untuk menyatakan bahwa suatu elemen adalah anggota himpunan , dan 0 untuk menyatakan bukan himpunan. (nilai ini dapat dianalogikan dengan true dan false).

Contoh : Misalkan A, B, dan C adalah himpunan. buktikan bahwa A (B C) = (A B) (A C) tabel keanggotaan untuk kesamaan tersebut adalah seperti dibawah ini. Karena kolom A (B C) dan kolom (A B) (A C) sama maka kesamaan tersebut benar.

A	B	C	BC	A (BC)	AB	AC	(AB) (AC)
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	0	0	0	0
0	1	0	1	0	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	0
1	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	1	1	0	1	1
1	1	0	1	1	1	0	1
1	1	1	1	1	1	1	1

c.       Pembuktian dengan aljabar himpunan

Aljabar himpunan mengacu pada hukum-hukum aljabar himpunan, termasuk di dalamnya teorema-teorema ( yang ada buktinya ), definisi suatu operasi himpunan dan penerapan prinsip dualitas.

Contoh :

Misalkan A dan B himpunan. buktikan bahwa A  (B - A) = A Penyelesaian :

A  (B - A) = A  (B  A^c)                 definisi operasi selisih

                       = (A B)  (A  A^c)           hukum distributif

                       = (A B)                         hukum komplemen

                       = A B                           hukum identitas        

d.      Pembuktian dengan menggunakan definisi

Metode ini digunakan untuk membuktikan proposisi himpunan yang tidak berbentuk kesamaan, tetapi proposisi yang berbentuk implikasi. Biasanya di dalam implikasi tersebut terdapat notasi himpunan bagian ( ).

Langkah-langkah untuk membuktikan bahwa X   Y  adalah sebagai berikut:

·         Ambil sembarang x  X

·         Dengan langkah-langkah yang benar tunjukkan bahwa x  Y

Oleh karena itu x diambil sembarang dalam X, maka berarti bahwa setiap anggota X merupakan anggota Y atau  X   Y.  Pembuktian yang melibatkan kesamaan himpunan (X = Y) haruslah melalui  2 arah sesuai dengan definisinya , yaitu X   Y   dan Y   X.

e.       Pembuktian dengan menggunakan sifat keanggotaan.

Contoh :

Bagaimana membuktikan A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)?

x ∈A ∪ (B ∩ C)

⇔x ∈ A ∨ x ∈ (B ∩ C)

⇔x ∈ A ∨ (x ∈ B ∧ x ∈ C)

⇔(x ∈ A ∨ x ∈ B) ∧ (x ∈ A ∨ x ∈ C)

(hukum distributif untuk logika matematika)

⇔x ∈ (A ∪ B) ∧ x ∈ (A ∪ C)

⇔x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

f.       Argument dan diagram venn

Banyak statemen verbal dapat dialihkan menjadi statemen himpunan. Statemen ini dapat digambarkan dengan diagram Venn. Oleh karena itu, diagram Venn acap kali digunakan untuk menganalisa validitasnya suatu argumen.

Contoh :

Pandang asumsi SI, S2, S3 berikut :

S1  : Guru adalah orang yang tenteram hidupnya

S2  : Setiap raja merupakan orang kaya

S3  : Tidak ada orang kaya yang juga tenteram hidupnya

Kita hendak menggambarkan asumsi di atas dalam diagram Venn.

Himpunan guru termuat dalam himpunan orang yang tentram hidupnya (asumsi SI). Himpunan orang tenteram hidupnya akan saling lepas dengan himpunan orang kaya (asumsi S3). Himpunan raja termuat seluruhnya di dalam himpunan orang kaya (asumsi S2).

BAB III

PENUTUP

A.    Kesimpulan

Ada beberapa hal yang dapat disimpulkan dalam pembuatan makalah ini, diantaranya adalah:

1.      Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan.

2.      Jenis-jenis terdiri dari himpunan bagian, himpunan kosong, himpunan semesta, himpunan sama, himpunan lepas, himpunan komplement, dan himpunan ekuivalent.

3.      Himpunan dapat ditulis dengan menyebutkan semua anggota, menyebutkan syarat-syarat anggota, notasi pembetuk himpunan, dan secara grafik.

4.      Operasi pada himpudan terdiri dari gabungan, irisan, komplement, selisih, dan hasil kali kartesius

5.      Pembuktian proporsi himpunan dapat menggunakan diagram venn, tabel keanggotaan, aljabar himpunan, dan definisi.

B.     Saran

            Tanpa kita sadari ternyata begitu banyak manfaat dari aplikasi matematika untuk kehidupan sehari-hari. Baik dalam bidang ekonomi, pendidikan, dan dalam berbagai disiplin ilmu yang lainya. Oleh karena itu kami menyarankan agar kita lebih serius dalam mempelajari matematika dan jangan dijadikan matematika sebagai sesuatu yang menyeramkan untuk dipelajari karena matematika adalah bagian sangat dekat yang tak terpisahkan dari kehidupan kita.

DAFTAR PUSTAKA

Anderson, Robert B, Proving Programs Correct, John Wiley & Sons, 1979.

Azmoodeh, Manoochehr, Abstract Dua Types and Algorithms, Macmillan Education, 1988.

Brassad, Gilles & Paul Bratley, Algorithmics, Theory and Practice, Prentice Hall, 1988.

Bryansonelf “Himpunan Matematika dengan Persampahan”. 10 Juni 2013

Johnsonbaugh, Richard, Discrete Mathematics,  Pentice Hall, 1997

Lipschuts,S; Silaban, P. 1985. Teori Himpunan. Jakarta: Erlangga.

Rosen, Kenneth H., Discrete Mathematics ang Its Applications, McGraw-Hall Internatiol 1994

Rizky, Awalia “Pengertian Himpunan”. 27 April 2013